Seleccione el límite de la función \( f(x) = 9x^2 + 12x + 3 \), por medio del cual se obtiene la derivada por definición.

La respuesta correcta es: \( \lim_{x \to x_0} \frac{(9x^2 + 12x + 3) - (9x_0^2 + 12x_0 + 3)}{x - x_0} \)

La derivada de una función en un punto dado \( x_0 \) se define formalmente a través del límite del cociente incremental. Matemáticamente, esta relación se expresa mediante la fórmula:

\[ f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \]

Para aplicar esta definición a la función polinomial \( f(x) = 9x^2 + 12x + 3 \), debemos estructurar correctamente los componentes del numerador:

• Función original \( f(x) \): Corresponde al primer bloque del numerador: \( (9x^2 + 12x + 3) \).
• Función evaluada \( f(x_0) \): Consiste en sustituir la variable \( x \) por \( x_0 \) en toda la expresión, obteniendo \( (9x_0^2 + 12x_0 + 3) \).
• Importancia de los signos: Debido a que la fórmula indica una resta de toda la función evaluada, es obligatorio utilizar paréntesis o corchetes para asegurar que el signo negativo afecte a cada uno de los términos de \( f(x_0) \).

La opción correcta es la única que respeta estrictamente esta estructura algebraica. Las otras opciones presentan errores críticos, como omitir los paréntesis (lo que alteraría los signos de la operación) o invertir el orden de la resta en el numerador.