Calcule la integral de la función trigonométrica.

\( \int \sin^3(2x) \, dx \)

La respuesta correcta es: \( -\frac{\cos(2x)}{2} + \frac{\cos^3(2x)}{6} + C \)

Para integrar potencias impares de funciones trigonométricas, utilizamos identidades pitagóricas para separar un factor y realizar una sustitución. En este caso, transformamos \( \sin^3(2x) \) en \( \sin(2x) \cdot \sin^2(2x) \).

• Identidad pitagórica: Sabemos que \( \sin^2(2x) = 1 - \cos^2(2x) \). Sustituyendo en la integral:
  \( \int \sin(2x)(1 - \cos^2(2x)) \, dx = \int \sin(2x) \, dx - \int \sin(2x)\cos^2(2x) \, dx \)
• Sustitución (u): Sea \( u = \cos(2x) \), entonces \( du = -2\sin(2x) \, dx \), lo que implica que \( \sin(2x) \, dx = -\frac{1}{2}du \).
• Resolución por partes:
  1. \( \int \sin(2x) \, dx = -\frac{1}{2}\cos(2x) \)
  2. \( -\int u^2 (-\frac{1}{2}) \, du = +\frac{1}{2} \int u^2 \, du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^3}{3} = \frac{\cos^3(2x)}{6} \)

Ensamblaje final: Al unir ambos resultados obtenemos \( -\frac{\cos(2x)}{2} + \frac{\cos^3(2x)}{6} + C \). El signo negativo inicial es crucial ya que proviene de la integral del seno.