Identifique la derivada de la composición \( f(g(x)) \) considerando las siguientes funciones.

\( f(x) = \sqrt{x} \)

\( g(x) = x^3 + 3x^2 + 1 \)

La respuesta correcta es: \( \frac{3x^2 + 6x}{2\sqrt{x^3 + 3x^2 + 1}} \)

Para derivar una función compuesta, debemos aplicar la Regla de la Cadena, la cual establece que \( [f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \). Esto significa que derivamos la función externa manteniendo la interna igual, y luego multiplicamos por la derivada de la función interna.

• Derivada de la función externa: Si \( f(x) = x^{1/2} \), su derivada es \( f'(x) = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \). Al aplicar la composición, queda \( f'(g(x)) = \frac{1}{2\sqrt{x^3 + 3x^2 + 1}} \).
• Derivada de la función interna: Para \( g(x) = x^3 + 3x^2 + 1 \), la derivada es \( g'(x) = 3x^2 + 6x \).
• Ensamblaje final: Multiplicamos ambos resultados:
  \( \frac{1}{2\sqrt{x^3 + 3x^2 + 1}} \cdot (3x^2 + 6x) = \frac{3x^2 + 6x}{2\sqrt{x^3 + 3x^2 + 1}} \)

La estructura resultante muestra claramente la combinación de ambas derivadas. Las opciones que solo presentan raíces sin el factor multiplicativo de la función interna son incompletas según la regla de la cadena.