Seleccione la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función \( f(x) = 3x^2 + 4 \) en el punto \( P(1, 7) \).

La respuesta correcta es: \( y = 6x + 1 \)

Para encontrar la ecuación de la recta tangente en un punto dado, debemos seguir un procedimiento de tres pasos fundamentales que involucran el cálculo de la pendiente y el uso de la forma punto-pendiente.

• 1. Obtención de la pendiente (m): La pendiente de la recta tangente es igual a la derivada de la función evaluada en la abscisa del punto. Derivamos \( f(x) = 3x^2 + 4 \) obteniendo \( f'(x) = 6x \). Al evaluar en \( x = 1 \), la pendiente es \( m = 6(1) = 6 \).
• 2. Uso de la fórmula punto-pendiente: Aplicamos la ecuación \( y - y_1 = m(x - x_1) \) con el punto \( P(1, 7) \) y la pendiente \( m = 6 \):
  \( y - 7 = 6(x - 1) \)
• 3. Simplificación algebraica:
  \( y - 7 = 6x - 6 \)
  \( y = 6x - 6 + 7 \)
  \( y = 6x + 1 \)

El resultado final es la ecuación lineal \( y = 6x + 1 \). Las otras opciones son incorrectas porque utilizan una pendiente distinta (como en la opción de \( 7x \)) o fallan en la simplificación del término independiente.