Calcule el valor de la integral definida de la función.

\[ \int_{1}^{4} (x^2 + x) \, dx \]

La respuesta correcta es: \( \frac{171}{6} \)

Para resolver esta integral definida, aplicamos el Teorema Fundamental del Cálculo, el cual establece que debemos hallar la antiderivada \( F(x) \) de la función y evaluarla en el límite superior menos el límite inferior: \( F(4) - F(1) \).

• Paso 1: Integración general.
  \[ \int (x^2 + x) \, dx = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} \]
• Paso 2: Evaluación en el límite superior (4).
  \[ \frac{4^3}{3} + \frac{4^2}{2} = \frac{64}{3} + \frac{16}{2} = \frac{64}{3} + 8 = \frac{64 + 24}{3} = \frac{88}{3} \]
• Paso 3: Evaluación en el límite inferior (1).
  \[ \frac{1^3}{3} + \frac{1^2}{2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2 + 3}{6} = \frac{5}{6} \]
• Paso 4: Sustracción final. Convertimos a sextos para operar:
  \[ \frac{88}{3} - \frac{5}{6} = \frac{176}{6} - \frac{5}{6} = \frac{171}{6} \]

Al realizar el ensamblaje aritmético de los términos evaluados, obtenemos un área de \( \frac{171}{6} \) unidades cuadradas. El signo negativo en otras opciones es incorrecto ya que el área bajo esta curva en dicho intervalo es positiva.