Calcule el valor del límite en la función.

\[ \lim_{x \to \infty} \frac{3 - 6x^2}{5x + 9x^2} \]

La respuesta correcta es: \( -\frac{2}{3} \)

Para calcular el límite al infinito de una función racional, aplicamos la técnica de dividir cada término entre la potencia más alta de \( x \) presente en el denominador, que en este caso es \( x^2 \). Este método permite simplificar la expresión y aplicar las leyes de los límites.

• Paso 1: División por la potencia máxima. Dividimos numerador y denominador entre \( x^2 \):
  \[ \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x^2} - \frac{6x^2}{x^2}}{\frac{5x}{x^2} + \frac{9x^2}{x^2}} \]
• Paso 2: Simplificación algebraica. La expresión se reduce a:
  \[ \frac{\frac{3}{x^2} - 6}{\frac{5}{x} + 9} \]
• Paso 3: Evaluación del límite. Recordando que cualquier término de la forma \( \frac{k}{x^n} \) tiende a cero cuando \( x \to \infty \), sustituimos:
  \[ \frac{0 - 6}{0 + 9} = -\frac{6}{9} \]

Finalmente, simplificamos la fracción dividiendo ambos términos entre 3, obteniendo como resultado final \( -\frac{2}{3} \). Las otras opciones presentan simplificaciones erróneas o invierten los valores de los coeficientes principales.