Calcule la derivada de la función polinomial.

\( f(x) = x^3 + 4x^2 + 2x - 7 \)

La respuesta correcta es: \( 3x^2 + 8x + 2 \)

Para derivar una función polinomial, aplicamos de forma sistemática la regla de la potencia para cada uno de los términos, la cual establece que \( \frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \). Además, empleamos la regla de la constante, que indica que la derivada de cualquier número real solo es igual a cero.

• Término \( x^3 \): El exponente 3 baja multiplicando a la base y se le resta una unidad al exponente original: \( 3x^{3-1} = 3x^2 \).
• Término \( 4x^2 \): Multiplicamos el coeficiente existente por el exponente que baja y restamos uno al exponente: \( 4 \cdot 2x^{2-1} = 8x \).
• Término \( 2x \): La derivada de una variable con exponente unitario es simplemente su coeficiente, ya que \( 2 \cdot 1x^{1-1} = 2x^0 = 2 \).
• Término \( -7 \): Al ser una constante independiente, su tasa de cambio es nula, por lo que su derivada es 0.

Al realizar el ensamblaje final de los términos derivados, obtenemos la expresión \( 3x^2 + 8x + 2 \). La opción que conserva el número -7 es incorrecta, pues ignora que las constantes desaparecen al derivar, y omitir el término lineal (+2) representaría una aplicación incompleta de las reglas básicas.