Identifique la integral de la función \( \int x\sqrt{x + 1} \, dx \) a partir de la integración por partes.

La respuesta correcta es: \( \frac{2}{3}x(x+1)^{3/2} - \frac{4}{15}(x+1)^{5/2} + C \)

Para resolver esta integral mediante el método de integración por partes, utilizamos la fórmula: \( \int u \, dv = uv - \int v \, du \).

• Paso 1: Selección de \( u \) y \( dv \).
  Sea \( u = x \), entonces \( du = dx \).
  Sea \( dv = (x + 1)^{1/2} \, dx \), entonces \( v = \int (x + 1)^{1/2} \, dx = \frac{2}{3}(x + 1)^{3/2} \).
• Paso 2: Aplicación de la fórmula.
  Sustituimos los términos:
  \( x \cdot \frac{2}{3}(x + 1)^{3/2} - \int \frac{2}{3}(x + 1)^{3/2} \, dx \)
• Paso 3: Resolución de la segunda integral.
  La integral de \( \frac{2}{3}(x + 1)^{3/2} \) es \( \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5}(x + 1)^{5/2} = \frac{4}{15}(x + 1)^{5/2} \).

Ensamblaje final: Al combinar los términos obtenidos, llegamos a la expresión \( \frac{2}{3}x(x + 1)^{3/2} - \frac{4}{15}(x + 1)^{5/2} + C \). La opción con el signo positivo es incorrecta debido a que la fórmula de integración por partes resta la segunda integral.