Pregunta de: Exani II -> Módulos Específicos -> Cálculo Diferencial e Integral
¿Qué propiedad se utiliza para resolver la siguiente integral?
\[ \int_{1}^{2} (x + 1) \, dx \]
\( \int_{b}^{a} f(x) \, dx = -\int_{a}^{b} f(x) \, dx \)
\( \int_{b}^{a} f(x) \, dx = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \)
\( \int_{b}^{a} kf(x) \, dx = k \int_{b}^{a} f(x) \, dx \)
Soluciones
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La respuesta correcta es: \( \int_{b}^{a} f(x) \, dx = -\int_{a}^{b} f(x) \, dx \)
Esta es una de las propiedades fundamentales de las integrales definidas conocida como la propiedad de inversión de los límites de integración. Establece que si intercambiamos el límite superior con el límite inferior, el valor de la integral cambia de signo.
Analicemos las opciones presentadas:
- Inversión de límites: Al cambiar el orden de \( a \) y \( b \), la diferencia \( F(b) - F(a) \) se convierte en \( F(a) - F(b) \), lo cual es matemáticamente equivalente a multiplicar por \( -1 \).
- Igualdad sin signo: Es incorrecto afirmar que la integral es igual al invertir los límites sin el signo negativo, ya que esto violaría el Teorema Fundamental del Cálculo.
- Propiedad de linealidad: La opción que menciona la constante \( k \) fuera de la integral es una propiedad válida, pero no es la que se aplica específicamente para manipular los límites de integración en una estructura como la del planteamiento.
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