Elija la gráfica en la que se muestra que la derivada de la función cambia exactamente 2 veces de signo y en la que una de sus raíces coincide con un punto crítico.

La respuesta correcta es la opción A

Para resolver este ejercicio debemos analizar la relación entre la función \( f(x) \) y su derivada \( f'(x) \) a través del comportamiento visual de la gráfica:

• Cambios de signo de la derivada: Visualmente, un cambio de signo en la derivada ocurre en los puntos críticos (máximos y mínimos relativos). Si la derivada cambia de signo exactamente 2 veces, la gráfica debe presentar un máximo y un mínimo (comportamiento típico de una función cúbica).
• Raíz que coincide con un punto crítico: Una raíz es un punto donde la gráfica toca o cruza el eje \( x \) (donde \( f(x) = 0 \)). Si esta raíz coincide con un punto crítico, significa que el valor máximo o el valor mínimo de la función se encuentra exactamente sobre el eje horizontal.

En la gráfica correcta, observamos una curva que sube y baja (dos puntos críticos donde la pendiente es cero) y específicamente uno de esos valles o crestas está justo sobre el eje \( x \), cumpliendo ambas condiciones simultáneamente.