Dados los vectores y , determinar el ángulo que forman entre sí.
Soluciones
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Determinación del Ángulo entre Vectores
Vectores Dados
Los vectores son:
- u = i + 3j - 2k
- v = 2i + 4j - k
Cálculo del Ángulo
El ángulo θ entre dos vectores u y v se puede calcular usando la siguiente fórmula:
cos(θ) = (u · v) / (|u| |v|)
Donde:
- u · v es el producto punto de los vectores.
- |u| y |v| son las magnitudes de los vectores.
1. Cálculo del Producto Punto (u · v)
Calculamos el producto punto:
u · v = (1)(2) + (3)(4) + (-2)(-1)
u · v = 2 + 12 + 2 = 16
2. Cálculo de las Magnitudes
Calculamos las magnitudes de los vectores:
|u| = √(12 + 32 + (-2)2)
|u| = √(1 + 9 + 4) = √14
|v| = √(22 + 42 + (-1)2)
|v| = √(4 + 16 + 1) = √21
3. Sustitución en la Fórmula
Sustituyendo en la fórmula del coseno:
cos(θ) = (u · v) / (|u| |v|)
cos(θ) = 16 / (√14 * √21)
4. Cálculo de θ
Calculamos θ usando la función arco coseno:
θ = cos-1(16 / (√14 * √21))
θ ≈ cos-1(0.743) ≈ 41.7°
Resultado
El ángulo que forman los vectores u y v es aproximadamente 41.7°.
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