Simplificar la expresión.

(1-tan θ)²

Solución: Simplificación de Expresión Trigonométrica

Para simplificar la expresión (1 - tan θ)², primero desarrollamos el binomio al cuadrado y luego aplicamos identidades trigonométricas.

1. Desarrollo del Binomio al Cuadrado

Utilizamos la fórmula del producto notable (a - b)² = a² - 2ab + b²:

(1)² - 2(1)(tan θ) + (tan θ)²
1 - 2tan θ + tan² θ

2. Aplicación de Identidades Pitagóricas

Recordamos la identidad pitagórica fundamental que relaciona la tangente con la secante:

1 + tan² θ = sec² θ

Reorganizamos nuestra expresión para agrupar los términos de la identidad:

(1 + tan² θ) - 2tan θ

3. Sustitución y Resultado Final

Sustituimos 1 + tan² θ por su equivalente sec² θ:

sec² θ - 2tan θ

Resumen de Identidades Utilizadas

• Binomio al cuadrado: Desarrollo de una resta elevada a la potencia 2.
• Identidad Pitagórica: Relación entre funciones trigonométricas elevadas al cuadrado.

Nota: Dependiendo del contexto, la expresión también podría expresarse en términos de senos y cosenos, pero la forma con secante es la simplificación más común y elegante.