Si las siguientes ecuaciones son equivalentes:
3x² + ax - 5 = 0
6x² - 6x - b = 0
Calcular el valor de a + b

Solución: Ecuaciones Cuadráticas Equivalentes

Para que dos ecuaciones de segundo grado sean equivalentes, sus coeficientes correspondientes deben ser proporcionales. Esto significa que ambas ecuaciones representan la misma parábola, simplemente escalada por un factor constante.

Dadas las ecuaciones generales:

A₁x² + B₁x + C₁ = 0
A₂x² + B₂x + C₂ = 0

Se debe cumplir la siguiente relación de proporcionalidad:

A₁/A₂ = B₁/B₂ = C₁/C₂

1. Establecer la proporción de los coeficientes

Identificamos los coeficientes de las ecuaciones proporcionadas:

• Ecuación 1: 3x² + ax - 5 = 0 → (A₁=3, B₁=a, C₁=-5)
• Ecuación 2: 6x² - 6x - b = 0 → (A₂=6, B₂=-6, C₂=-b)

Planteamos la igualdad de razones:

3 / 6 = a / -6 = -5 / -b

2. Calcular los valores de "a" y "b"

Observamos que la razón constante es 3 / 6 = 1 / 2. Esto indica que la segunda ecuación es exactamente el doble de la primera.

• Para hallar "a":
  1 / 2 = a / -6
  a = -6 / 2
  a = -3

• Para hallar "b":
  1 / 2 = -5 / -b
  1 / 2 = 5 / b (eliminando signos negativos)
  b = 5 * 2
  b = 10

3. Resultado final: a + b

Sumamos los valores obtenidos para dar respuesta a la pregunta:

-3 + 10 = 7

Conclusión: El valor de a + b es 7. Al ser ecuaciones equivalentes, si multiplicas la primera ecuación por 2, obtienes exactamente la segunda: 2(3x² - 3x - 5) = 6x² - 6x - 10.